Anton Gaaei se convirtió en el primer goleador danés del AFC Ajax en la Eredivisie desde Mohamed Daramy en septiembre de 2021 y el 22 en total, al menos siete más que cualquier otro equipo de la Eredivisie.
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El futbolista tiene apenas 20 años y llegó a Amsterdam procedente del Viborg FF de su país, club que recibió cerca de cuatro millones de euros por la transacción. Gaaei firmó un contrato de cinco años y fue el segundo refuerzo de la defensa del Ajax en el mercado de verano, tras Jakov Medic en St. Pauli.
Anton Gaaei comenzó su carrera en Bruunshåb/Tapdrup IF y luego pasó por Overlund GF, antes de mudarse a Viborg. A partir del verano de 2020, Gaaei empezó a entrenar de forma regular con el primer equipo. El 2 de septiembre de 2020, Gaaei debutó oficialmente con el Viborg, saliendo desde el banquillo en el minuto 76 contra el FC Fredericia en la Copa de Dinamarca. Tres meses después, en diciembre de 2020, Gaaei firmó un nuevo acuerdo con Viborg hasta junio de 2023.
En su juventud, Gaaei fue principalmente extremo, pero luego se convirtió en lateral derecho. El 1 de abril de 2022, Gaaei debutó en la liga con el Viborg y en la Superliga danesa en un partido contra el SønderjyskE. Gaaei terminó la temporada 2021-22 con seis apariciones.
El 17 de agosto de 2023, Gaaei se unió oficialmente al Ajax de la Eredivisie por una tarifa reportada de 35 millones de coronas danesas (alrededor de 4,5 millones de euros) firmando un contrato de cinco años con el club holandés. En el proceso, rompió el récord de transferencias como la venta más taquillera de Viborg. pronosticos liga eredivisie
Gaaei hizo su debut competitivo con el club el 3 de septiembre, reemplazando a Devyne Rensch en el minuto 62 del empate 0-0 en la liga contra Fortuna Sittard. Enfrentó críticas por sus primeras actuaciones, y los analistas destacaron sus deficientes habilidades defensivas y su frecuente pérdida de posesión. En De Klassieker el 24 de septiembre, Gaaei comenzó en la alineación y cometió dos errores fundamentales que resultaron en goles de Santiago Giménez. En consecuencia, fue sustituido por Rensch en el minuto 32, antes de que el partido se detuviera temporalmente debido a las molestias del público.
